Як пишеться думати за новим?

По-новому — якщо слово у реченні відповідає питанням «як?», воно буде наречием і пишеться лише через дефіс. За правилами російської мови, прислівники з приставкою «по» та суфіксом «ому/йому» пишуться через дефіс: по-новому, на вашу думку, по-швидкому і т. д.

по-новому одягнутися – пишеться через дефіс, оскільки це прислівник на -ому.

Прислівник «по-старому» відповідає питанням ЯК? Прислівники з приставкою ПЗ та суфіксом -ОМУ пишуться через дефіс. Приклад: А він жив по-старому, нічого не змінилося.